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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 7: Estudio de Funciones

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16. Encuentre todos los valores de $k \in \mathbb{R}$ para los cuales la ecuación $\frac{e^{\frac{5}{3} x}}{x^{5}}=k$ no tiene solución.

Respuesta

Para responder esta pregunta, vamos a definir la función $f(x) = \frac{e^{\frac{5}{3} x}}{x^{5}} $ y hacer un estudio de función completo.

1) Identificamos el dominio de $f(x)$ El dominio de $f$ es $\mathbb{R} - \{0\}$ 2) Asíntotas - Asíntotas verticales: 

$ \lim_{x \to 0^+} \frac{e^{\frac{5}{3} x}}{x^{5}} = +\infty $ $ \lim_{x \to 0^-} \frac{e^{\frac{5}{3} x}}{x^{5}} = -\infty $ Por lo tanto, \( x=0 \) es asíntota vertical de \( f \). - Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{\frac{5}{3} x}}{x^{5}} $

Estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", aplicando L'Hopital varias veces vas a llegar a que

$ \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{\frac{5}{3} x}}{x^{5}} = +\infty $

Tomamos ahora límite en $-\infty$, acá no hay ninguna indeterminación y sale enseguida:
$ \lim_{x \to -\infty} \frac{e^{\frac{5}{3} x}}{x^{5}} = 0 $ Por lo tanto, \( f \) tiene una asíntota horizontal en \( y = 0 \) en \( -\infty \).
3) Calculamos $f'(x)$:

$ f'(x) = \frac{\frac{5}{3}e^{\frac{5}{3} x} \cdot x^{5} - e^{\frac{5}{3} x} \cdot 5x^{4}}{x^{10}} $ Reacomodamos un poco, ir sacar factor común nos va a venir bien para el próximo paso: $ f'(x) = \frac{\left(\frac{5}{3}x - 5\right)x^{4}e^{\frac{5}{3} x}}{x^{10}} $
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:

$ \frac{\left(\frac{5}{3}x - 5\right)x^{4}e^{\frac{5}{3} x}}{x^{10}} = 0 $ La exponencial nunca es cero y $x$ tampoco (acordate que está fuera del dominio!), los puntos críticos salen de plantear $ \frac{5}{3}x - 5 = 0 $ Esto ocurre únicamente si $ x = 3 $

5) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:

a) \( (-\infty, 0) \) b) \( (0, 3) \) c) \( (3, +\infty) \)
6) Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno de los intervalos: a) Para \( (-\infty, 0) \) \( f'(x) < 0 \). En este intervalo, \( f \) es decreciente. b) Para \( (0, 3) \) \( f'(x) < 0 \). En este intervalo, \( f \) es decreciente. c) Para \( (3, +\infty) \) \( f'(x) > 0 \). En este intervalo, \( f \) es creciente.

 Con todos los datos que tenemos ya podemos hacer el gráfico aproximado de $f$. Yo acá lo hice el GeoGebra:

2024-04-20%2016:21:21_4146493.png

Ahora, mirando el gráfico respondamos a la pregunta del enunciado. Si $k$ está en el intervalo $[0, f(3))$ no hay solución (para esos valores en $y$ no tengo función). 

Pregunta: ¿Te das cuenta por qué al $0$ le puse corchete?
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Avatar Gael 23 de mayo 22:32
Es porque si no tuviese corchete si habría una solucion?
Avatar Flor Profesor 24 de mayo 20:49
@Gael Viene por ahi! Pensalo así: Si nosotros incluimos al $0$ en el intervalo (como en este caso que le pusimos corchete) es porque estamos diciendo que no hay solución, es decir, que si me paró en $y = 0$ y trazo esa recta horizontal, no me voy a encontrar con función. Y es exactamente lo que pasa, no? Porque justo ahi tenemos nuestra asíntota horizontal :D 

Si le hubiera puesto paréntesis, estaría diciendo que si hay solución, como decías vos. Pero eso es mentira, porque justo en $y = 0$ tenemos la asíntota horizontal y ahi no hay función ;)
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